偏微分記号の代数から解析学的な理解を再度試みる


f(x,y):= x + y
g(x,y):= x + 2y
f(x,y) = g(x,y) + y

腑に落ちない人へは下記
∂f/∂y = 1
∂g/∂y = 2
f(x,y) = 2 g(x,y) – x

ここで
F := fx + f
G := gx + g
※関数fとgは変数xを持たないが、関数fとgが持つ他の変数をfxとgxは持ち得る。

∂F/∂x = ∂fx/∂x
∂G/∂x = ∂gx/∂x
※この時点で画像の式が、片方成立すれば同時に成立しないと困ることに、気づける人は気づける。

まだひっかかっている人は ∂ と d が確実に混同していて

s(x,y):= xy + y
t(x,y):= xy + 2y
s(x,y) = t(x,y) + y

∂s/∂t = 1 だが ds/dt ≠ 1 である。
なぜならtの微小変化時(つまりdt>0を考えるとき)に y の微小変化 dyが無い(dy=0)を勝手に決めつけることが出来ないから(∵tはyの関数でもある)。ここで偏微分とは「ある一変数で微分」という日本語表現よりもむしろ「関数の特定の部分をラッピングして(その詳細には立ち入らずに)、その部分が微小変化したと考えて「あげる」ことなのだろうな」と理解できる。

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