一様収束が現代数学に編み出された経緯の個人的な理解とおもひで

テイラー展開(マクローリン展開)は非線形な関数を多項式の線形結合で近似していくのですが、近似後の右辺について無限に項を増やしていったとき(n→無限大)、近似元の非線形関数たる左辺に本当に「収束する」のですか、どうやって確かめるんですかといったときに、まあシンプルに(左辺-右辺)が、任意の値(x)で、0になればいいんじゃないですか?と思ったんですね。もちろん(n→無限大)で。面倒くさかったからレポート課題はそこまで書き殴って提出しちゃいました。一年前期の頃です。

そのあたりのモヤモヤしたメモの続きが「一様収束」だったわけです。ふと思い出して調べたらこちらの記事の一番下のほうに

閉区間[a,b]で連続な関数f(x)は多項式で一様に近似される

とあり証明まで載っているのでよろしければみてみてください。同じような疑問をもった方はどうぞ。

極限の微分と微分の極限が一致しないと、テイラー展開後の右辺の微分(各項の微分和)と、近似元の非線形関数(左辺)の微分が必ずしも一致しないんじゃないかなって直感的にそう思いますね。一様収束がなかったら、その仰々しいべき級数も絵に描いた餅だったんじゃないかなと思いました。よかった。

いや要はこちらで書かれている証明など、(n→無限大)に拡張できるかどうかで一様収束は必須なんじゃないかなと。

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